GEOMETRÍA ANALÍTICA

 


2.3 ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA CON VÉRTICE EN (h, k)


Consideramos ahora una parábola cuyo eje es paralelo a, pero no en coincidencia con un eje coordenado. En la Fig. C, el vértice está en (h, k) y el foco está en (h+a, k). Introducimos otro par de ejes por una traslación hasta el punto ( h, k). Puesto que la distancia del vértice al foco es a, tenemos de inmediato la ecuación

y'2 = 4ax'

Para escribir la ecuación de la parábola respecto a los ejes originales, aplicamos las fórmulas de traslación, y obtenemos así

( y -k)2 = 4a (x -h)
En esta ecuación observamos, y también en la figura, que cuando a > 0, el factor x -h del segundo miembro debe ser mayor que o igual a cero. Por eso, la parábola abre hacía la derecha. Para a < 0, el factor x -h debe ser menor o igual a cero, y por eso la parábola abriría hacia la izquierda. El eje de la parábola está sobre la recta y -k = 0. La longitud del latus rectum es igual al valor absoluto de 4a, y entonces fácilmente se pueden localizar los puntos extremos.
Figura E


Se puede hacer una discusión semejante si el eje de una parábola es paralelo al eje y. Consecuentemente, establecemos la siguiente.


La ecuación de una parábola con vértice en (h,k) y foco en (h +a,k) es


(y - k)2 = 4ª (x - h)


La parábola abre hacia la derecha si a > 0 y abre hacia la izquierda si a < 0.

La ecuación de una parábola con vértice en (h,k) y foco en (h, k + a) es


(x - h)2 = 4ª (y - k)


La parábola abre hacia arriba si a > 0 y abre hacia abajo si a <0.

Cada una de las Ecuaciones (2.1) y (2.2) está en la forma estándar. Cuando h = 0 y k = 0, se reducen a las ecuaciones más sencillas de la sección precedente. Si la ecuación de una parábola está en la forma estándar, rápidamente se puede trazar su gráfica. El vértice y los extremos del latus rectum son suficientes para un trazo burdo. Marcar unos cuantos puntos adicionales ayudaría, por supuesto, a mejorar la precisión.

Notamos Que cada una de las Ecuaciones (2.1) y (2.2) es cuadrática en una variable y lineal en la otra variable. Este hecho se puede expresar más vívidamente si efectuamos la elevación al cuadrado y trasponemos los términos para obtener las formas generales

x2 + Dx +Ey +F = 0


y2 + Dx +Ey +F = 0

Inversamente, una ecuación de la forma (2.3) o (2.4) se puede presentar en una forma estándar, siempre y cuando E ¹ 0 en (2.3) y D ¹ 0 en (2.4).


2.3.1 EJEMPLOS

EJEMPLO 1. Trazar la gráfica de la ecuación

y2 + 8x - 6y + 25 = 0


Solución. La ecuación representa una parábola porque y está elevada al cuadrado y x a la primera potencia. La gráfica se puede trazar más rápidamente si primero reducimos la ecuación a una forma estándar. Así,

y2 - 6y + 9 = -8x - 25 + 9

(y - 3)2 = -8 ( x + 2)
Figura F


El vértice está en (-2, 3) puesto que 4ª=-8 y a= -2, el foco está a dos unidades a la izquierda del vértice. La longitud del latus rectum, igual al valor absoluto de 4ª, es 8. Por eso el latus rectum se extiende cuatro unidades arriba y abajo del foco. La gráfica está trazada en la Figura F

EJEMPLO 2. Construir la gráfica de la ecuación

x2 - 6x - 12y - 51 = 0

Solución. La ecuación dada representa una parábola donde x aparece al cuadrado y y a la primera potencia. Primero expresamos la ecuación en forma estándar.

x2 - 6x +9 = 12y -51 + 9

(x - 3)2 = 12 ( y + 5)

Figura G

E vértice está en (3, 5). Puesto que 4ª = 12, a= 3. De manera que el foco está 3 unidades arriba del vértice, o sea, en (3, -2). La longitud del latus rectum es 12, y esto hace que las coordenadas de sus extremos sean ( -3, -2) y (9, -2). La grafica esta trazada en la Fig. G.